线性代数

线性代数究竟讲了个什么事情？线性方程组、向量、线性空间之间有什么关系？他们与矩阵有什么关系？为什么要在线性代数中讲到矩阵？

1 映射=函数=变换=算子

（在不同领域的不同称呼）

通常我们说 变换（transformation）时，实际上指的是函数（function）f ，也成为一个算子或者映射，给它一定的输入，它会产生相应的输出。

在线性代数的场景中，变换（transformation）可以想象为输入某个向量，然后输出另一个向量的过程。

2 线性方程、向量空间、线性空间关系

是同一个东西的不同表述。

线性方程的系数表示的输入向量，多组$[x_1,\cdots,x_n]$表示多组算子。$[y_1,y_2,\cdots,y_n]$表示变换后的结果。（后续补充：感觉系数像是算子，未知量像解空间）

向量空间。由多个线性无关的向量组成的向量组，称为向量空间。每一个向量表示一个算子。

线性空间。有多个线性无关的基底组成的线性空间。每一个基底表示一个算子。

3 线性变换的表示

一般来说，方阵能描述任意线性变换。线性变换，在一个线性空间中，将一个向量依次乘一组基底，则完成线性变换，得到另外一个向量。把一个平面想象为彼此间均匀且平行的网格，线性变换会让网格中的线条依然保持平行且均匀。 \([y_1,y_2,\cdots,y_n]^T=[a_1^T,a_2^T,\cdots,a_n^T]^T*[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T\\ 其中a_i=[t_1,t_2,\cdots,t_n]是一个基底。\)

4 线性变换的特点

线性变换保留了直线和平行线，但原点没有移动。线性变换保留直线的同时，其他的几何性质如长度、角度、面积和体积可能被变换改变了。从非技术意义上说，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。

1. 向量在变换后仍然是直线，不会被扭曲；
2. 原点不会发生移动。

5 线性变换和线性映射的区别

线性映射（ linear mapping）是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射且保持加法运算和数量乘法运算，而线性变换（linear transformation）是线性空间V到其自身的线性映射。

6 线性代数

每一组线性方程的值，每一组线性无关的向量，每一组基底，都可以构成一个矩阵，统一为一个算子。所以线性代数主要讲了两件事。什么是线性变换。如何用矩阵工具解决线性变换问题。

目录

1 常见矩阵

• 单位矩阵
• 对角矩阵
• （上下）三角矩阵
• 伴随矩阵（两个矩阵关系）
• 逆矩阵（两个矩阵关系）
• 正交矩阵
• 对称矩阵
• 相似矩阵（两个矩阵关系）

2 矩阵计算

• 加减
• 数乘
• 矩阵乘积
• 行列式
• 逆
• 秩

3 矩阵变换

明白矩阵变换的实际意义和矩阵变换前后保留的性质。初等矩阵是由单位矩阵经过一次变换得到的矩阵。由初等矩阵的组合可以表示任何初等变换。

初等变换

• 对调 \(A=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right]\)
• 数乘 \(A=\left[\begin{array}{cc} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{array}\right]\)
• 倍加

保留的性质：

• 线性方程组的解不变。
• 矩阵的秩不变

相似变换

\(P^{-1}AP=B\)

保留的性质

• 矩阵的特征值特征向量不变

线性无关/自由度/独立性的描述 \(det A \not = 0\\ 矩阵的秩\\ 线性无关方程\\ 线性无关向量（正交是比线性无关更强的条件）\\ 线性无关空间\\\)

4 线性代数部分

之前讲的是矩阵工具的应用

线性方程组

向量空间（向量组）

线性空间

矩阵表示 \(A=\left[\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}}\end{array}\right]\) \(A \cdot \vec{x}= \left(\begin{array}{c} {a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}}\\ {a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}}\\ {\vdots} \\ {a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}} \end{array}\right)\) \(A x=\lambda x\) \(A=P^{-1} B P\)