行列式
1 行列式与线性方程组
线性方程程组
\(\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases}\\\)
行列式含义
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\ = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\ -a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{21}a_{32}\]行列式表示线性方程组的解
$$
D = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
D_1=\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12}
b_2 & a_{21}
\end{vmatrix}
D_2=\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1
a_{21} & b_2
\end{vmatrix}\
x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D} $$
2 全排类和逆序数
全排列
把n个不同的元素排成一列，成为全排列
逆序
- 当两个元素的先后次序与标准次序不同时，则存在一个逆序。
- 一个排列中所有逆序的总数，成为逆序数。
- 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
3 n阶行列式定义
n阶行列式定义
\(\begin{vmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}} \end{vmatrix} =(-1)^ta_{1p_1}\cdots a_{np_n}\) t为逆序数。记作det(A)
n阶行列式性质
- 对角行列式
- 上（下）三角行列式与对角行列式的值相同。
4 对换
定义：对换
- 在排列中将任意两个元素对调，其余元素不变，称为对换。
- 将相邻的两个元素对换，称为相邻对换。
定理：元素对换
一个排列中任意两个元素对换，奇偶性改变。奇排列变换为标准排列的对换次数为奇数，偶排列变为标准排列的对换次数是偶数。
5 行列式的性质
- 性质1：行列式与转置行列式相等。 \(D=D^T\)
- 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。如果有两行或者两列完全相同，则行列式等于零。
- 性质3：行列式乘一个数，等于行列式的某一行（列）乘这个数。行列式某一行（列）元素的公因子可以提取到行列式外。
- 性质4：行列式中如果有两行成比例，则行列式等于零。
- 性质5：如果第i行（列）元素都是两数之和，则行列式能够拆成第i行（列）不同的两个行列式之和。
- 性质6：行列式的某一列，各个元素乘以同一个数，然后加到另一列上，行列式不变。
\(\begin{vmatrix}
{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\
{a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\
{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\
{a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\
{a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\
{\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\
{a_{k1}}+ka_{i1} & {a_{k2}+ka_{i2}} & {\cdots} & {a_{kn}+ka_{in}} \\
{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\
{a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}}
\end{vmatrix}\)
6 行列式按行列展开
定义：余子式
在n阶行列式中，把(i,j)元素a(i,j)所在的第i行第j列划去 ，留下的n-1阶行列式，叫做(i,j)元素a(i,j)的代数余子式，记作$M_{ij}$。
代数余子式$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
定理：余子式计算
一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除$a_{ij}$外都为零，那么行列式等于$a_{ij}$与它的代数余子式的成绩。 \(D = a_{ij}A_{ij}\)
定理：行列式的余子式表示，行列式按行（列）展开法则
行列式等于它的任一行的各元素与对应的代数余子式乘积之和。即： \(D = a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}A_{in}\)
范德蒙行列式
\[D_n= \begin{vmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}} \end{vmatrix} = \prod_{n\geq i>j\geq l}(x_i - x_j)\]定理：行列式的其他展开
行列式某一行的元素与玲一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
7 克拉默法则
定理：克拉默法则
如果线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。
定义：齐次方程组
线性方程组常数项不全为零时，称为非齐次线性方程组。常数项全为零时，叫做其次线性方程组。
定理：齐次方程组
- 如果齐次方程组的系数行列式不等于零，则齐次线性方程组没有非零解。
- 如果其次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。
8 常见题型及解法
求行列式
- 暴力解
- 利用点数余子式解
解线性方程组
- 克拉默法则
