矩阵的初等变换

1 矩阵的初等变换

初等变换的定义

矩阵的初等行变换$A\sim^r B$、初等列变换$A\sim^c B$

1. 对调两行
2. 数乘某一行
3. 某一行元素的k倍加到另外一行

初等行变换与初等列变换统称初等变换。记作$A\sim B$

初等变换的性质

1. 反身性$A \sim A$
2. 对称性$A\sim B,B\sim A$
3. 传递性$A\sim B,B\sim C,A\sim C$

初等变换的形式

• 行阶梯形式：阶梯型。
• 行最简形式：每一行第一个非零元素为1，且该列其他元素为零。
• 标准形式：行变换后，进行列变换，到达行最简形式，列最简形式。左上角单位阵 \(F=\begin{bmatrix} E_r & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}_{m\times n}\)

初等变换的乘积表示

• $A\sim^r B$的充要条件存在m阶可逆矩阵P，使$PA = B$
• $A\sim^c B$的充要条件存在n阶可逆矩阵Q，使$AQ = B$
• $A\sim B$的充要条件存在m阶可逆矩阵P，存在n阶可逆矩阵Q，使$PAQ =B$

初等矩阵

由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

性质：

• 对矩阵进行一次初等行变换，等价于左乘一个初等矩阵。对矩阵进行一次列变换，等价于右乘一个初等矩阵。
• 矩阵可逆的充要条件，存在有限个初等矩阵$P_1,\cdots,P_n$使得$A=P_1\cdots P_n$
• 方阵A可逆的充要条件是$A\sim^r E$

2 矩阵的秩

定义：矩阵的k阶子式

矩阵$A_{m\times n}$任取k行k列。位于交叉处的k个元素构成了k阶方阵，称为矩阵A的k阶子式。

定义：矩阵的秩

矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，并且矩阵A所有的r+1阶子式都为零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，r称为矩阵的秩。记作$R(A)$，规定零矩阵的秩等于零。

• 行满秩：r与矩阵A的行数相等。称为行满秩
• 列满秩：r与矩阵A的列数相等。称为列满秩

  性质：矩阵的秩

• $0\leq R(A_{m\times n})\leq min[m,n]$
• $R(A^T)=R$
• $若A\sim B,则R(A)=R(B)$
• $若P,Q可逆，则R(PAQ)=R(A)$
• $max{R(A),R(B)}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B)$
• 可逆矩阵=非奇异矩阵=满秩矩阵
• 不可逆矩阵=奇异矩阵=不满秩矩阵

定理：初等变换秩相等

定理：相似变换

\(可逆矩阵P,Q，使得B=PAQ\\ 则R(A)=R(B)\)

定理：矩阵的乘法消去律