向量

7 向量运算

定义：向量内积

\(x=(x_1,\cdots,x_n)^T\\ y=(y_1,\cdots,y_n)^T\\ [x,y]=x^Ty=x_1y_1+\cdots+x_ny_n\) [x,y]称为向量的内积。

性质：向量内积

1. $[x,y]=[y,x]$
2. $\lambda[x,y]=[\lambda x,y]$
3. $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$
4. $x=\overrightarrow{0},=>[x,x]=0\x \not =\overrightarrow{0},=>[x,x]\not =0$
5. 施瓦茨不等式：$[x,y]^2\geq [x,x]+[y,y]$

定义：向量长度（范数）

性质：向量长度

1. 非负性：$x=\overrightarrow{0},=>

   x

   =0\x \not =\overrightarrow{0},=>

   x

   \not =0$

2. 齐次性：$

   \lambda x

   =\lambda

   x

   $

3. 三角不等式：$

   x+y

   \leq

   x

   +

   y

   $

性质：向量内积的几何意义

• 向量内积表示一个向量在另一个向量上投影的积$[x,y]=

  x

  \cdot

  y

  \cos \theta$

• n维向量x,y的夹角：$\cos\theta = \frac{[x,y]}{

  x

  \cdot

  y

  }$

定义：正交向量

当n维向量x,y的夹角为90，即[x,y]=0时，称向量x,y正交

定理：线性无关向量与向量正交

若n为向量$a_1,a_2,\cdots,a_r$是一组两两正交的向量，则这组向量线性无关。

定义：规范正交基

• 条件 \(n维向量e_1,\cdots,e_r是向量空间V的一个基（线性无关）\\ e_1,\cdots,e_r两两正交\\ e_1,\cdots,e_r都是单位向量\)
• 结论 \(e_1,\cdots,e_r是向量空间V的一个规范正交基\\ 由一组基得到一组规范正交基的过程称为规范正交化。\)

定理：施密特正交化（正交化、单位化）

1. 正交化 \(每次减去与前一项交叉的部分。\\ b_1 = a_1 \\ b_2 = a_2 - \frac{[a_2,b_1]}{[b_1,b_1]}b_1\\ \cdots\\ b_n = a_n - \frac{[a_n,b_{n-1}]}{[b_{n-1},b_{n-1}]}b_{n-1}\)
2. 规范化 \(e_1 = \frac{b_1}{||b_1||}\\ \cdots\\ e_n = \frac{b_n}{||b_n||}\)

定义：正交矩阵

\(A^T\cdot A=E\\ A\cdot A^T=E\\ A^T=A^{-1}\\\) 则称A为正交矩阵。

性质：正交矩阵

1. A的列向量与行向量都是单位向量，且两两正交。

2. 若A为正交矩阵，则$A^{-1},A^T$都是正交矩阵，且$det A =

   A

   =1$

3. 若A与B为正交阵，则AB也为正交阵。
4. 若A是正交阵，则$A^{-1},A^*$都是正交阵。

定义：正交变换

若P为正交矩阵，则$y=Px$称为正交变换。

性质：正交变换

• y

  =

  x

  。正交变换保持长度不变。