二次型及标准型

二次方程组的矩阵表示，及化简，变为标准型。

1 二次型

定义1：二次型

• 条件 \(f(x_1,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+\cdots+a_{nn}x_n^2\\ 2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{n(n-1)}x_nx_{n-1}\\ = \sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j\) 含有n个变量的二次其次函数称为二次型。

定义2：标准型

• 条件 \(f=k_1y_1^2+\cdots+k_ny_n^2\) 只含有平方项的二次型称为标准型。

定义3：规范型

• 条件 \(f=(+|-)y_1^2+\cdots+(+|-)y_n^2\) 标准型的系数只能在0，-1，1三个数中取值时，称为规范型

定义4：二次型的矩阵表示

\(f=x^TAx\\ x=\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} A=\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\) 其中A为对称矩阵。对称阵和二次型一一对应。

定义5:合同变换

• 条件 \(A,B是n阶矩阵\\ C是可逆矩阵\\ B=C^TAC\)
• 结论 \(矩阵A与矩阵B合同。\)

  性质：合同变换

• $R(A)=R(B)$合同变换秩相等
• 若A为对称阵，则B也为对称阵。

定理1：相似对角化

给定二次型 \(f= \sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j\) 总有正交变换$x=Py,$使$f$变为标准型

\(f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\) 其中$\lambda$是矩阵A的特征值。

定理2：相似对角化

对于给定的二次型 \(f(x)=x^TAx\) 总有可逆变换使$f(Cz)$为规范型