树

树结构是一种日常生活中应用相当广泛的非线性结构，包括企业内的组织结构、家族的族谱、篮球赛程以及计算机领域中的操作系统与数据库管理系统都是树结构的衍生应用。

树概述

树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当n＞1时，其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1、T2、……、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

对于树的定义还需要强调两点：

• n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，别和现实中的大树混在一起，现实中的树有很多根须，那是真实的树，数据结构中的树是只能有一个根结点。
• m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。像图6-2-3中的两个结构就不符合树的定义，因为它们都有相交的子树。

结点分类

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度（Degree）。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

结点间关系

结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。嗯，为什么不是父或母，叫双亲呢？呵呵，对于结点来说其父母同体，唯一的一个，所以只能把它称为双亲了。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。

树的其他相关概念

结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第l层，则其子树的根就在第l+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度，当前树的深度为4。

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

森林（Forest）是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。

树的抽象数据类型

相对于线性结构，树的操作就完全不同了，这里我们给出一些基本和常用操作。

树的存储结构

先来看看顺序存储结构，用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。这对于线性表来说是很自然的，对于树这样一多对的结构呢？

树中某个结点的孩子可以有多个，这就意味着，无论按何种顺序将树中所有结点存储到数组中，结点的存储位置都无法直接反映逻辑关系，你想想看，数据元素挨个的存储，谁是谁的双亲，谁是谁的孩子呢？简单的顺序存储结构是不能满足树的实现要求的。

不过充分利用顺序存储和链式存储结构的特点，完全可以实现对树的存储结构的表示。我们这里要介绍三种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

双亲表示法

我们人可能因为种种原因，没有孩子，但无论是谁都不可能是从石头里蹦出来的，孙悟空显然不能算是人，所以是人一定会有父母。树这种结构也不例外，除了根结点外，其余每个结点，它不一定有孩子，但是一定有且仅有一个双亲。

我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。也就是说，每个结点除了知道自己是谁以外，还知道它的双亲在哪里。

[data][parent]

其中data是数据域，存储结点的数据信息。而parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。

以下是我们的双亲表示法的结点结构定义代码。

   /* 树的双亲表示法结点结构定义 */
    #define MAX_TREE_SIZE 100
    typedef int TElemType;       /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
    typedef  struct PTNode       /* 结点结构 */
    {
        TElemType data;          /* 结点数据 */
        int parent;              /* 双亲位置 */
    } PTNode;
    typedef  struct              /* 树结构 */
    {
        PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; /* 结点数组 */
        int r,n;                 /* 根的位置和结点数 */
    } PTree;

有了这样的结构定义，我们就可以来实现双亲表示法了。由于根结点是没有双亲的，所以我们约定根结点的位置域设置为－1，这也就意味着，我们所有的结点都存有它双亲的位置。

这样的存储结构，我们可以根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为O(1)，直到parent为－1时，表示找到了树结点的根。可如果我们要知道结点的孩子是什么，对不起，请遍历整个结构才行。

这真是麻烦，能不能改进一下呢？

当然可以。我们增加一个结点最左边孩子的域，不妨叫它长子域，这样就可以很容易得到结点的孩子。如果没有孩子的结点，这个长子域就设置为－1

对于有0个或1个孩子结点来说，这样的结构是解决了要找结点孩子的问题了。甚至是有2个孩子，知道了长子是谁，另一个当然就是次子了。

另外一个问题场景，我们很关注各兄弟之间的关系，双亲表示法无法体现这样的关系，那我们怎么办？嗯，可以增加一个右兄弟域来体现兄弟关系，也就是说，每一个结点如果它存在右兄弟，则记录下右兄弟的下标。同样的，如果右兄弟不存在，则赋值为－1

但如果结点的孩子很多，超过了2个。我们又关注结点的双亲、又关注结点的孩子、还关注结点的兄弟，而且对时间遍历要求还比较高，那么我们还可以把此结构扩展为有双亲域、长子域、再有右兄弟域。存储结构的设计是一个非常灵活的过程。一个存储结构设计得是否合理，取决于基于该存储结构的运算是否适合、是否方便，时间复杂度好不好等。注意也不是越多越好，有需要时再设计相应的结构。就像再好听的音乐，不停反复听上千遍也会腻味，再好看的电影，一段时间反复看上百遍，也会无趣，你们说是吧？

孩子表示法

换一种完全不同的考虑方法。由于树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。不过，树的每个结点的度，也就是它的孩子个数是不同的。所以可以设计两种方案来解决。

其中data是数据域，存储某结点的数据信息。firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。 以下是我们的孩子表示法的结构定义代码。

    /* 树的孩子表示法结构定义 */
    #define MAX_TREE_SIZE 100
    typedef struct CTNode /* 孩子结点 */
    {
        int child;
        struct CTNode *next;
    } *ChildPtr;
    typedef struct           /* 表头结构 */
    {
        TElemType data;
        ChildPtr firstchild;
    } CTBox;
    typedef struct           /* 树结构 */
    {
        CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; /* 结点数组 */
        int r,n;             /* 根的位置和结点数 */
    } CTree;

孩子兄弟表示法

刚才我们分别从双亲的角度和从孩子的角度研究树的存储结构，如果我们从树结点的兄弟的角度又会如何呢？当然，对于树这样的层级结构来说，只研究结点的兄弟是不行的，我们观察后发现，任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

其中data是数据域，firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。

结构定义代码如下。

    /* 树的孩子兄弟表示法结构定义 */
    typedef struct CSNode
    {
        TElemType data;
        struct CSNode *firstchild,*rightsib;
    } CSNode,*CSTree;

二叉树的定义

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

树

我们知道对于有序数组，查找很快，并介绍可以通过二分法查找，但是想要在有序数组中插入一个数据项，就必须先找到插入数据项的位置，然后将所有插入位置后面的数据项全部向后移动一位，来给新数据腾出空间，平均来讲要移动N/2次，这是很费时的。同理，删除数据也是。

然后我们介绍了另外一种数据结构——链表，链表的插入和删除很快，我们只需要改变一些引用值就行了，但是查找数据却很慢了，因为不管我们查找什么数据，都需要从链表的第一个数据项开始，遍历到找到所需数据项为止，这个查找也是平均需要比较N/2次。

那么我们就希望一种数据结构能同时具备数组查找快的优点以及链表插入和删除快的优点，于是 树 诞生了。

树

树（tree）是一种抽象数据类型（ADT），用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点通过连接它们的边组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

​ ①、节点：上图的圆圈，比如A,B,C等都是表示节点。节点一般代表一些实体，在java面向对象编程中，节点一般代表对象。

②、边：连接节点的线称为边，边表示节点的关联关系。一般从一个节点到另一个节点的唯一方法就是沿着一条顺着有边的道路前进。在Java当中通常表示引用。

树有很多种，向上面的一个节点有多余两个的子节点的树，称为多路树，后面会讲解2-3-4树和外部存储都是多路树的例子。而每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树

树的常用术语

​ ①、路径：顺着节点的边从一个节点走到另一个节点，所经过的节点的顺序排列就称为“路径”。

②、根：树顶端的节点称为根。一棵树只有一个根，如果要把一个节点和边的集合称为树，那么从根到其他任何一个节点都必须有且只有一条路径。A是根节点。

③、父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；B是D的父节点。

④、子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；D是B的子节点。

⑤、兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；比如上图的D和E就互称为兄弟节点。

⑥、叶节点：没有子节点的节点称为叶节点，也叫叶子节点，比如上图的H、E、F、G都是叶子节点。

⑦、子树：每个节点都可以作为子树的根，它和它所有的子节点、子节点的子节点等都包含在子树中。

⑧、节点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推。

⑨、深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；

⑩、高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；

树(Tree)是一个分层的数据结构，由节点和连接节点的边组成，是一种特殊的图，它与图最大的区别是没有循环。树的结构十分直观，而树的很多概念定义都有一个相同的特点：递归。各种树解决的问题以及面临的新问题：

• 二叉查找树(BST)：解决了排序的基本问题，但是由于无法保证平衡，可能退化为链表
• 平衡二叉树(AVL)：通过旋转解决了平衡的问题，但是旋转操作效率太低
• 红黑树：通过舍弃严格的平衡和引入红黑节点，解决了AVL旋转效率过低的问题，但是在磁盘等场景下，树仍然太高，IO次数太多
• B树：通过将二叉树改为多路平衡查找树，解决了树过高的问题
• B+树：在B树的基础上，将非叶节点改造为不存储数据的纯索引节点，进一步降低了树的高度；此外将叶节点使用指针连接成链表，范围查询更加高效